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Sommaire.
Fiches complète et vérifiée

Les produits remarquables, les identités remarquables

  1. Produits remarquables à 2 facteurs (Niveau 3ème)
    Pour tout A, B appartenant au corp K (C'est à dire, à l'ensemble prédéfini, réels ou complexes), alors;
    • (A+B)2 = A2 + B2 + 2.A.B
    • (A-B)2 = A2 + B2 - 2.A.B
    • (A+B).(A-B)= A2 - B2

    Démonstration.

    La démonstration suit la règle de la distributivité de l'addition par rapport à la multiplication.

    Pour (A+B)2:

    • (A+B)2 = (A+B).(A+B)
    • (A+B)2 = A.A + A.B + B.A + B.B
    • Or la multiplication est commutative, donc B.A=A.B, il vient...
    • (A+B)2 = A.A + A.B + A.B + B.B
    • (A+B)2 = A.A + 2.A.B + B.B donc
    • (A+B)2 = A2 + B2 + 2.A.B
    Pour (A-B)2:
    • (A-B)2 = (A-B).(A-B)
    • (A-B)2 = A.A - A.B - B.A - (-B.B)
    • (A-B)2 =A.A - A.B - B.A + B.B
    • Or la multiplication est commutative, donc B.A=A.B, il vient...
    • (A-B)2 = A.A - A.B - A.B + B.B
    • (A-B)2 = A.A - 2.A.B + B.B donc
    • (A-B)2 = A2 + B2 - 2.A.B
    Pour (A+B).(A-B):
    • (A+B).(A-B) = A.A - A.B + B.A - B.B
    • Or la multiplication est commutative, donc B.A=A.B, il vient...
    • (A+B).(A-B) = A.A + (A.B-A.B) - B.B
    • (A+B).(A-B) = A2 - B2
  2. Produits remarquables à 3 facteurs (Niveau Lycée)
    Pour tout A, B appartenant au corp K (C'est à dire, à l'ensemble prédéfini, réels ou complexes), alors;
    • (A+B)3 = A3 + 3.A2.B + 3.A.B2 + B3
    • (A-B)3 = A3 - 3.A2.B + 3.A.B2 - B3

    Démonstration.

    La démonstration suit la règle de la distributivité de l'addition par rapport à la multiplication.

    Pour (A+B)3:

    • (A+B)3 = (A+B).(A+B).(A+B)
    • (A+B)3 = (A.A.A) + (A.A.B) + (A.B.A) + (A.B.B) + (B.A.A) + (B.A.B) + (B.B.A) + (B.B.B)
    • (A+B)3 = (A.A.A) + (A.A.B).3 + (A.B.B).3 + (B.B.B)
    • (A+B)3 = A3 + 3.A2.B + 3.A.B2 + B3
    Pour (A-B)3:
    • (A-B)3 = (A-B).(A-B).(A-B)
    • (A-B)3 = (A.A.A) + (A.A.(-B)) + (A.(-B).A) + (A.(-B).(-B)) + ((-B).A.A) + ((-B).A.(-B)) + ((-B).(-B).A) + ((-B).(-B).(-B))
    • (A-B)3 = (A.A.A) - (A.A.B) - (A.B.A) + (A.B.B) - (B.A.A) + (B.A.B) + (B.B.A) - (B.B.B)
    • (A-B)3 = (A.A.A) - (A.A.B).3 + (A.B.B).3 - (B.B.B)
    • (A-B)3 = A3 - 3.A2.B + 3.A.B2 - B3
  3. Produits remarquables sur série géométrique (Niveau Lycée)
    Pour tout x appartenant au corp K (C'est à dire, à l'ensemble prédéfini, réles ou complexes), alors;
    • (1-x).(1+x+x2+<...>+xn) = 1 - xn+1
    Corollaire:
    • (1 - xn+1) / (1-x) = (1+x+x2+<...>+xn)

    Démonstration.

    La démonstration suit la règle de la distributivité de l'addition par rapport à la multiplication. Prenons le cas où n=4.

    • (1-x).(1+x+x2+x3+x4) = 1.1 + (1.x - x.1) + (1.x2 - x2.1) + (1.x3 - x3.1) + (1.x4 - x4.1) -x5
    • (1-x).(1+x+x2+x3+x4) = 1 - x5
  4. Produits remarquables à n facteurs (Niveau Terminale)

    Cette règle suit ce qu'on appelle le "triangle de Pascal". Elle suit la même distribution que la loi binomiale mais au lieu d'être appliquée à p et q (tel que p+q=1) elle est appliquée à 2 réels A et B.

    Pour tout A, B appartenant au corp K (C'est à dire, à l'ensemble prédéfini, réels ou complexes), alors;
    • (A+B)n = An + Bn + @SOMME(Ci(n-1) . A(n-i) . Bi) [i=1<...>(n-1)]
    • (A-B)n = An +(-1)n .Bn + @SOMME(Ci(n-1) .(-1)i . A(n-i) . Bi) [i=1<...>(n-1)]
    Ici "Ci(n-1)" représente le nombre de combinaisons (statistiques)

    Démonstration.

    La démonstration suit la règle de la distributivité de l'addition par rapport à la multiplication, ainsi que les règles de combinatoires de statistiques...

    A l'intérieur de la combinaison linéaire, considérons chaque n-uple An-i.Bi.

    Le nombre de fois qu'une telle combinaison apparaît dépend du nombre de combinaisons que l'on peut établir de (n-i) A parmi les n couples (A+B). Ceci démontre la raison de l'utilisation de Ci(n-1) dans la formule.

    Le reste de la démonstration n'est qu'une généralité des démonstration des produits remarquables pour 2 ou 3 facteurs.

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