ALBATROS CONCEPT 
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Sommaire.
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  1. Les opérations arithmétiques

    Ce cours est du niveau de l'enseignement primaire

    A partir du moment où l'homme est passé du statut de migrateur, vivant de chasse et de pêche, pendant la période Paléolithique, au statut de sédentaire, pendant la période Néolithique, il lui fallait trouver un système pour compter ses "possessions" afin de les répartir, au fil du temps, et pour les besoins de sa "famille". Compter les cailloux (Calcula en latin) permettait, notamment, de comptabiliser ses moutons.

    Parmi les opérations à effectuer sur ses possessions, il fallait ajouter ou retrancher des biens. A cette époque, on comptabilisait ses possessions avec des nombres entiers (graines, moutons etc). Plus tard, il a fallu effectuer des opérations sur des "portions" de bien (par exemple, diviser une part de gâteau en 5, ou partager équitablement des graines). Il fallut également effectuer des multiplications (par exemple, compter le nombre total de graines contenues dans 8 bourses de 15 graines, ou alors, compter le nombre de graines nécessaires pour un champ ayant telle surface à raison de 1 graine par m2). Voilà quelques exemples montrant à quoi servent les opérations de calcul basics.

    Remarque: Toutes les propriétés des 4 opérations de base sont des Axiomes et ne sont donc pas démontrables.

    1. L'addition - la somme

      Elle consiste à ajouter 2 groupes de mêmes objets. 3 tomates + 2 tomates, 5 balles + 7 balles... On ne peut pas ajouter 3 tomates à 5 balles. On n'obtiendra pas 8 tomates ou 8 balles.

      Voici la table d'addition que l'on enseigne aux écoliers du CP:

      + 1 2 3 4 5 6 7 8 9
      1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
      2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
      3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
      4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
      5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
      6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
      7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
      8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
      9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

      Propriétés : L'addition, aussi appelé somme, est une loi de composition applicable à l'ensemble des nombres connus. Son opérateur est le signe +. Elle est munie des propriétés suivantes:

      1. Commutativité: elle est commutative car, pour 2 nombres A et B, on a A + B = B + A. Concrétement, si 3 + 6 = 9, alors 6 + 3 = 9
      2. Associativité: elle est associative car, pour 3 nombres A, B, C, on a (A + B) + C = A + (B + C). Concrètement, si 2 + (7 + 5) = 2 + 12 = 14 alors (2 + 7) + 5 = 9 + 5 = 14
      3. élément neutre: l'addition est munie d'un élément neutre, n'influant pas sur le résultat de l'opération. Cet élément neutre est 0. En effet, pour tout nombre A, A + 0 = 0 + A = A.
      4. Opposé (ou symétrique): Pour tout nombre A, il existe un nombre opposé B, tel que leur somme donne, pour résultat, l'élément neutre 0. Cet élément, dans l'addition, est (-A): A+(-A)=A-A=0

      Tout élément d'une addition est appelé un terme.

    2. La multiplication - le produit

      La multiplication est une opération utilisée, à l'origine, afin de trouver le résultat de la somme d'un ensemble de valeurs identiques... elle sert aussi, par exemple, à calculer des surfaces.

      Voici la table de multiplications que l'on enseigne aux écoliers du primaire:

      × 1 2 3 4 5 6 7 8 9
      1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
      2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
      3 3 6 9 12 15 18 21 24 27
      4 4 8 12 16 20 24 28 32 36
      5 5 10 15 20 25 30 35 40 45
      6 6 12 18 24 30 36 42 48 54
      7 7 14 21 28 35 42 49 56 63
      8 8 16 24 32 40 48 56 64 72
      9 9 18 27 36 45 54 63 72 81

      Propriétés : La multiplication, aussi appelée produit, est une loi de composition applicable à l'ensemble des nombres connus. Son opérateur est le signe × (on emploiera aussi, le symbole * dans ces cours). Elle est munie des propriétés suivantes:

      1. Commutativité : elle est commutative car, pour 2 nombres A et B, on a A × B = B × A. Concrétement, si 3 × 6 = 18, alors 6 × 3 = 18
      2. Associativité : elle est associative car, pour 3 nombres A, B, C, on a (A × B) × C = A × (B × C). Concrètement, si 2 × (7 × 5) = 2 × 35 = 70 alors (2 × 7) × 5 = 14 × 5 = 70
      3. Élément neutre : elle est munie d'un élément neutre, n'influant pas sur le résultat de l'opération. Cet élément neutre est 1. En effet, pour tout nombre A, A × 1 = 1 × A = A.
      4. Inverse (ou symétrique) : pour tout nombre A, il existe un nombre B, tel que leur produit donne l'élément neutre du produit, 1. Ce nombre est 1 ÷ A. Il est appelé l'inverse de A.
      Tout élément d'un produit est appelé un facteur.

      Remarque : Le produit de tout nombre Réel par le chiffre 0 donne 0! Si on dit "Il y a 0 fois un sac de 5 billes", il y aura 0 bille.

    3. La soustraction - la différence

      Il s'agit, en quelque sorte, d'une addition "prise à l'envers". On prend le résultat de l'addition, on lui retranche un des termes, et, en résultat, on obtient l'autre terme. Cette opération est utilisée, par exemple, pour indiquer quelle masse de farine il reste après en avoir utilisé une partie pour un gâteau.

      Il n'y a pas de table de soustraction à proprement parler. Pour trouver le résultat d'une soustraction, on part de la table des additions, dans laquelle on choisit un résultat (attention, comme vous le remarquez, il peut exister plusieurs fois le même résultat dans le tableau de l'addition!) auquel on retranche un des termes choisis (Soit en colonne, soit en ligne) et le résultat apparaît soit en colonne (si on a choisi un terme en ligne), soit en ligne (si on a choisi une colonne).

      Propriétés : Contrairement à l'addition, la soustraction n'a ni la propriété de Commutativité ni celle d'Associativité. Il n'y a pas d'opposé. Ce n'est pas une loi de composition interne.

    4. La division - le quotient

      Il s'agit, en quelque sorte, d'une multiplication "prise à l'envers". On prend le résultat de la multiplication, on le divise par un des facteurs, et, en résultat, on obtient l'autre facteur. Cette opération est utilisée, par exemple, pour partager équitablement, un nombre de graines entre jardiniers.

      Il n'y a pas de table de division à proprement parler. Pour trouver le résultat d'une division, on part de la table des multiplications, dans laquelle on choisit un résultat (attention, comme vous le remarquez, il peut exister plusieurs fois le même résultat dans le tableau de multiplication!) que l'on divise par un des facteurs choisis (Soit en colonne, soit en ligne) et le résultat apparaît soit en colonne (si on a choisi un facteur en ligne), soit en ligne (si on a choisi une colonne). L'opérateur de la division est le symbole ÷ (mais on poura aussi utiliser le symbole / dans ces cours).

      Propriétés : Contrairement à la multiplication, la division n'a ni la propriété de Commutativité ni celle d'Associativité. Il n'y a pas d'inverse. Ce n'est pas une loi de composition interne.

      Vocabulaire: dans la division A ÷ B = C, A est appelé le dividende, B le Diviseur et C le Quotient. Dans le cas où la division entière de A par B, ce qu'il reste du résultat est appelé le Reste.

      Attention!!: Quelle que soit l'élément m appartenant à un ensemble quelconque (Entier, Réel, Complexe), il est impossible de diviser cet élément par le chiffre 0 (ou l'élément nul)!!

  2. Systèmes numériques

    Au fils des siècles, de nombreux systèmes numériques ont été mis en place avec plus ou moins de succès. Base 12, base 60, système romain (le moins judicieux, il faut l'avouer) et puis le système basé sur les 10 doigts de la main, le système décimal que tout le monde a retenu.

    Sauf lorsque cela est signalé, le système de numération utilisé pour tous les calculs, dans ces cours, est le système décimal. Cela signifie que, pour chaque dizaine utilisée, il existe une quantification de 10 (0 à 9). C'est comme si on avait des sacs contenant de 1 à 10 graines. A chaque sac rempli de graines, on en prend un autre contenant 0 graine, que l'on remplit. Si ce deuxième sac est plein on en prend un troisième... Et si on remplit 10 sacs, on les met dans une boîte. Puis on prend une autre boîte etc...

    Il existe d'autres systèmes numériques, utilisés surtout en informatique! Le système binaire ne contenant que 2 valeurs (0 et 1), utilisé dans les "fils" informatiques (servant de base à l'octet). Le système Octal (0 à 7) est utilisé, notamment, pour les systèmes de fichiers sécurisés Unix. Enfin le système Hexadécimal (0 à 9, puis A, B, C, D, E, F) contenant 16 valeurs et utilisé souvent pour coder les Octets en informatique. L'on peut imaginer d'autres systèmes numériques (par exemple, un système allant de 0 à 3 pour comptabiliser les animaux quadrupèdes d'après le nombre de pattes comptés).

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