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Sommaire.
Fiche complète et vérifiée

Calcul mental 2 : Divisibilité - trucs et astuces

Il s'agit, dans cette fiche, de définir si on peut diviser un nombre entier par un chiffre ou un nombre simple, en utilisant quelques règles. Le terme Divisibilité signifie que la division du dividende par le diviseur recherché, donnera un nombre entier et un reste nul (égal à zéro).
  1. Divisibilité par 2 (Ecole Primaire)
    Pour déterminer si un nombre est divisible par 2, on regarde le chiffre de la fin. Si ce chiffre est pair (multiple de 2) ou nul, alors ce nombre est divisible par 2.

  2. Divisibilité par 5
    Pour déterminer si un nombre est divisible par 5, il suffit de déterminer si le dernier chiffre de ce nombre est 0 ou 5. Si c'est le cas, il est divisible par 5.

  3. Divisibilité par 10, 100, 1000
    Pour déterminer si un nombre est divisible par 10, il suffit de voir si le dernier chiffre de ce nombre est 0. Si c'est le cas, il est divisible par 10. Si ce nombre se termine par 2 fois 0, il est divisible par 100. S'il se termine par 3 zéros, il est divisible par 1000 etc...

  4. Divisibilité par 9
    Pour déterminer si un nombre est divisible par 9, il suffit d'additionner l'ensemble des chiffres de ce nombre. Si le résultat obtenu est un multiple de 9, alors ce nombre est disivible par 9.

    Exemple : 423 => 4+2+3=9.Ce nombre est divisible par 9.

    Démonstration.

    Pour ce faire, on passe par une démonstration par récurrence. Un nombre multiple de 9 signifie que l'on ajoute k fois 9, soit (9+9+9+...+9) pour obtenir ce nombre.

    Première étape: vérifions que la règle est vérifiée pour les premiers multiples de 9.

    • 9+9=18. 1+9=9, vérifié
    • 18+9=27. 2+7=9, vérifié
    • La règle est vérifiée pour 18 et 27.

    Deuxième étape: supposons que la règle soit vraie au rang k, pour le nombre $abcd.

    • Si d=0, alors la somme des chiffres sera 9×k+9=9×(k+1). Cette somme reste multiple de 9
    • Si 1<=d<=9, Sachant que 9=10-1, alors:
      $abcd+9=(a×1000+b×100+c×10+d)+(10-1)
      $abcd+9=(a×1000+b×100+(c+1)×10+(d-1))
      • Si aucun des autres chiffres n'est égal à 9, on aura
        a+b+(c+1)+(d-1)=a+b+c+d
        La somme des chiffres reste multiple de 9.
      • Si on a une suite de 9 dans le nombre de départ, à partir du chiffre des dizaines, de la gauche vers la droite, ajouter 1 à un seul de ces chiffres aura pour conséquence de soustraire autant de fois 9 de la somme globale qu'il y a de chiffre 9 dans la suite, et de décaler d'autant l'ajout de ce chiffre 1 vers la gauche du nombre. Ainsi, on aura pour résultat, dans ce cas: a+b+c+d+9=1+(a+b+c+d)-1-(k×9)=a+b+c+d-9×k et ceci reste donc un multiple de 9!

        Exemple: avec 9999, 9999+9=>La somme des chiffres deviendra 1+0+0+0+(9-1)=9.

    Nous avons prouvé que, si la somme des chiffres d'un nombre est un multiple de 9, ce nombre est multiple de 9.

  5. Divisibilité par 3
    Pour déterminer si un nombre est divisible par 3, il suffit d'additionner l'ensemble des chiffres de ce nombre. Si le résultat obtenu est un multiple de 3, alors ce nombre est disivible par 3.

    Exemple : 420 => 4+2+0=6.Ce nombre est divisible par 3.

    Démonstration.

    Pour ce faire, on passe par une démonstration par récurrence. Un nombre multiple de 3 signifie que l'on ajoute k fois 3, soit (3+3+..+3) pour obtenir ce nombre.

    Première étape: vérifions que la règle est vérifiée pour les premiers multiples de 3.

    • 9+3=12. 1+2=3, vérifié
    • Pour 15: 1+5=6, vérifié.
    • La règle est vérifiée pour tous les multiples de 3 compris entre 3 et 15.

    Deuxième étape: supposons que la règle soit vraie au rang k, pour le nombre $abcd.Sachant que 3=10-7 alors:

    • Si d<=6, la somme des chiffres sera
      a+b+c+d+3=3×k+3 a+b+c+d+3=3×(k+1)
      la règle est vérifiée
    • Si d>6, alors
      $abcd+3=(a×1000+b×100+c×10+d)+(10-7) $abcd+3=(a×1000+b×100+(c+1)×10+(d-7))
      • Si c<9, la somme des chiffres est
        a+b+(c+1)+(d-7)=a+b+c+d-6=3×k-3×2 a+b+(c+1)+(d-7)=3×(k-2)
        La règle est vérifiée
      • Si c=9, la somme sera
        a+(b+1)+(c-9)+(d-7)=a+b+c+d-15 a+(b+1)+(c-9)+(d-7)=3×k-3×5=3×(k-5)
        La règle est encore vérifiée.
      • Si c=9 et b=9... on obtiendrait le même résultat que ci-dessus, la règle est vérifiée
    La règle est vérifiée quelles que soient les valeurs chiffrées de a,b,c,d. On a démontré par récurrence que si la somme des chiffres d'un nombre est un multiple de 3, alors ce nombre est divisible par 3.

  6. Divisibilité par 15
    Pour déterminer si un nombre est divisible par 15, il suffit de vérifier qu'il se termine par 0 ou 5, et que la somme de ses chiffres est multiple de 3.

    Démonstration.
    Il s'agit tout bonnement de la combinaison de la divisibilité par 5 et de la divisibilité par 3.

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